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めぐり逢う世界

旅行のことを中心に、学部やPC関係の話も少し紹介したりするブログ。

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驚くべき事実(1+2+3+・・・=-1/12?)

ζ(-1)=1 + 2 + 3 + 4 + 5 +・・・=-1/12

ζ(-3)=1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 +・・・ =1/120

ζ(-5)=1^5 + 2^5 + 3^5 + 4^5 + 5^5 +・・・ =-1/252
・・・
であることを証明する。

ちなみにζはゼータと読み、ζ(s)=1^(-s) + 2^(-s) + 3^(-s) +・・・です。

-π<x<πで考える。

加法定理より、
sin(x+y)=sinx・cosy + cosx・siny・・・①
sin(x-y)=sinx・cosy - cosx・siny・・・②

①-②より、
cosx・siny =1/2・{sin(x+y) - sin(x-y)}

よって、
cos(x/2)・sinx=1/2・{sin(3x/2) + sin(x/2)}
-cos(x/2)・sin2x=-1/2・{sin(5x/2) + sin(3x/2)}
cos(x/2)・sin3x=1/2・{sin(7x/2) + sin(5x/2)}
-cos(x/2)・sin4x=-1/2・{sin(9x/2) + sin(7x/2)}

辺々足して、
cos(x/2)・(sinx - sin2x + sin3x - sin4x + ・・・)
=1/2・[{sin(3x/2) + sin(x/2)} - {sin(5x/2) + sin(3x/2)}+{sin(7x/2) +
sin(5x/2)}- {sin(9x/2) + sin(7x/2)}+ ・・・]
=1/2・sin(x/2)

よって、
1/2・sin(x/2)/cos(x/2)=sinx - sin2x + sin3x - sin4x + ・・・ ・・・③

sinx,-sin2x, sin3x, -sin4x・・・をマクローリン展開していくと、
sinx=x - x^3/3!+ x^5/5!- x^7/7!+ ・・・
-sin2x=-{2x - (2x)^3/3!+ (2x)^5/5!- (2x)^7/7!+ ・・・}
sin3x=3x - (3x)^3/3!+ (3x)^5/5!- (3x)^7/7!+ ・・・
-sin4x=-{4x - (4x)^3/3!+ (4x)^5/5!- (4x)^7/7!+ ・・・}
・・・

辺々足して、
sinx - sin2x + sin3x - sin4x + ・・・
=(1-2+3-4+・・)x - (1-2^3+3^3-4^3+・・)x^3/3!+ (1-2^5+3^5-4^5+・・
)x^5/5!- (1-2^7+3^7-4^7+・・)x^7/7!+ ・・・
=(1-2^2)ζ(-1)x - (1-2^4)ζ(-3)x^3/3! + (1-2^6)ζ(-5)x^5/5!- (1-2^8)ζ
(-7)x^7/7!+・・・

すなわち、
(③の右辺)=(1-2^2)ζ(-1)x - (1-2^4)ζ(-3)x^3/3! + (1-2^6)ζ(-5)x^5/5!-
(1-2^8)ζ(-7)x^7/7!+・・・ ・・・④

さらに、1/2・sin(x/2)/cos(x/2)をマクローリン展開すると、
1/2・sin(x/2)/cos(x/2)=1/4・x + 1/8・x^3/3! + 1/4・x^5/5! + ・・・

すなわち、
(③の左辺)=1/4・x + 1/8・x^3/3! + 1/4・x^5/5! + ・・・ ・・・⑤

③、④、⑤より、
(1-2^2)ζ(-1)x - (1-2^4)ζ(-3)x^3/3! + (1-2^6)ζ(-5)x^5/5!- (1-2^8)ζ
(-7)x^7/7!+・・・
=1/4・x + 1/8・x^3/3! + 1/4・x^5/5! + ・・・

係数を比較して、
(1-2^2)ζ(-1)=1/4
-(1-2^4)ζ(-3)x=1/8
(1-2^6)ζ(-5)=1/4
・・・

よって、
ζ(-1)=1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ・・・=-1/12

ζ(-3)=1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 +・・・ =1/120

ζ(-5)=1^5 + 2^5 + 3^5 + 4^5 + 5^5 +・・・ =-1/252
・・・


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ・・・=-1/12なんてありえないとか言ってたのに証明できてしまって萎えた。
現代数学では正しいとされているらしい。

ちなみに
ζ(0)=1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ・・・=-1/2

ζ(-2)=1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 +・・・ =0

ζ(-4)=1^4 + 2^4 + 3^4 + 4^4 + 5^4 +・・・ =0

ζ(-6)=1^6 + 2^6 + 3^6 + 4^6 + 5^6 +・・・ =0
・・・

らしいです。
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