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めぐり逢う世界

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log2とπ/4の級数表示

1対1対応の演習Ⅲの積分(数式)の18問目にlog2とπ/4の級数表示に関する問題があって感動した。

積分を使ってこれらの値が級数表示できるなんて・・・。

これらの級数表示は前から知っていたが、それはlog2に関してはlog(1+x)をマクローリン展開したものにx=1を代入して得られるもの、π/4はグレゴリー級数にx=1を代入して得られるものだった。

これらの展開式はとても高校範囲と呼べるものではないと思うので感動したわけです。まぁ高校範囲で証明できるとは思いますけどね。

今、グレゴリー級数の証明見てみましたが、π/4の級数表示を求める問題と実は同じことやって求めてますね。

ちなみに、

log(1+x)=x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 +・・・(マクローリン級数)

arctanx=x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 +・・・(グレゴリー級数)

にx=1を代入するとlog2とπ/4の級数表示が得られます。


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| 数学について | 04:31 | comments:5 | trackbacks:0 | TOP↑

COMMENT

この手の級数の証明は面積計算から得る場合が多いよね
グレゴリー級数はarctanxを一度微分した式を
無限等比級数の和の逆で展開して各項を積分するって感じだったし、
過去問をお持ちなら、今年の東大も誘導にそって区分求積で
log2の近似を求める楽しげな問題が出たと聞く

| もょもと | 2007/06/18 13:25 | URL | ≫ EDIT

…。やはりな…。

| ワカ | 2007/06/18 21:13 | URL |

おれもそう思ったよ

| チキソ | 2007/06/19 00:33 | URL |

この流れ…やっちまったか……

| もょもと | 2007/06/19 01:09 | URL | ≫ EDIT

なんというカオス

東大のは流石に誘導があまりなかったわ

| Evergreen | 2007/06/19 01:17 | URL | ≫ EDIT















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