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めぐり逢う世界

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等号成立条件

セレクト理系数学①の【14】の(1)の不等式を証明する際に、定松は相加・相乗平均の大小関係を利用していましたが、等号成立については調べていませんでした。

私は相加・相乗平均の大小関係やシュワルツの不等式を利用した際には、等号成立条件が問われていなくても等号成立条件を調べるようにしていたんですが、調べなくてもよいのでしょうか?

相加・相乗平均の大小関係などの等号は必ずしも成立するわけじゃない気がするので調べなければダメな気がするのですが…。
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| 平和な日常 | 15:30 | comments:12 | trackbacks:0 | TOP↑

COMMENT

僕も等号成立条件は書くようにしてますよ。
シュワルツとかで比になってややこしそうなのは放置してますけどね…

| ぽん | 2008/05/22 15:37 | URL |

サテの定松だけ何故かTSの2組の中継授業なんですよね。

私は先週の金曜に同じところをライブで受けましたが、(1)の等号成立条件にはやはり触れていません。ちょうど(1)の別解を出したところで終わっています。時間切れで次の週に回すのかなと思ってそれほど気にしてませんでした。

ちなみにこの問題、両辺をnで割って凸不等式でも示せますよね(1/xが下に凸)。

| ミーシュカ | 2008/05/22 17:46 | URL | ≫ EDIT

代ゼミでどの先生か忘れたけど、等号成立条件は問われてなくても書かないと減点されると聞いたきがする。
書いて損はないから書いたほうがいいとおも

| 浪人 | 2008/05/22 22:37 | URL |

>>ぽんさん
やはりそうですか。

僕は時間がないとき以外はシュワルツでも書くようにしてますかねー。まぁシュワルツ自体あまり使いませんけどね。

>>ミーシュカさん
ほう。

あの人がそんな微妙な所で止めるようなことはない気がしますのでやっぱり普通に書かなかったのでしょうかね。

今やってみたら確かに凸不等式でも示せますね。nで割っても右辺がまだそのままの形ではちょっと?なので気づきませんでしたw
シュワルツでも一発で示せますよね。

>>浪人さん
やっぱりそうですよね。

| Evergreen | 2008/05/23 00:12 | URL | ≫ EDIT

最大最小を求める場合は、等号成立条件を調べないと、絶対バツですね。

| hi | 2008/05/23 14:28 | URL |

今日先週の続きを受けましたが(2)でも等号成立は示さず終わってしまいました。
等号成立条件が容易に分かるのに書いていないのは普通減点ですからこれはちょっといけませんね。

≧を示せと言われているけれど極限を取らないと=の場合が出てこないという例が稀にあります。そういうのは等号成立条件にあえて触れる必要がないケースです。というか不見識な出題者による悪問です。

おまけ
私はこの本でシュワルツの奥義をマスターしました
http://www.amazon.com/dp/052154677X

| ミーシュカ | 2008/05/23 19:06 | URL | ≫ EDIT

>>hiさん
最大最小の場合はそうですね。

>>ミーシュカさん
そうですかー。

そういう問題見たことあるかもです。

シュワルツの奥義w私には多分読めませんw

| Evergreen | 2008/05/25 00:34 | URL | ≫ EDIT

1.すでにふれられていますが、最大値や最小値を示す際には等号成立があることを示さなくてはいけません。ちなみに、これは「等号成立条件」を示すこととはちょっと違います。そこまでしなくてもよい。等号が成立する場合がある場合を述べればいいだけで、全ての可能性を洗い出す必要はない。

2.最大値や最小値を示すのではない場合など(数学的に必要のない場合)には、等号成立条件を述べなくてもよいです。(予備校の講師は数学に関しては素人なのであまり真に受けないでください。)
数学的に必要のない場合がいつなのかが判らないというのでは困りますが、「不等式を示せ」という問題なら等号成立は書かない方がよいです。「書いて損はない」という意見があるようですが、書く必要のないものを書いているのであれば、「わかっていない」ことがばれます。先生の言われるままに言われたことを書いているようなことでは、数学ではだめです。
その点で特に気になったのは、

> 相加・相乗平均の大小関係などの等号は必ずしも成立するわけじゃない気がするので調べなければダメな気がするのですが…。

というくだりですが、異論があります。
等号が成立する場合があろうがなかろうが、不等号≦で2つの式の関係を述べるのは自由です。「A≦Bと書くからにはA=Bの場合がなくてはいけない」というのは誤りですし、「=の場合を調べなければA≦Bを主張してはいけない」というのも誤りです。

| hoie | 2008/05/29 00:09 | URL |

>>hoieさん
言ってることは分かりますがやはり受験においては書きべきだと思いますよ。

>>「書いて損はない」という意見があるようですが、書く必要のないものを書いているのであれば、「わかっていない」ことがばれます。

別に分かってないとはいえないでしょう。丁寧に>ではなく確かに≧になってますね、と説明しているだけです。

>>等号が成立する場合があろうがなかろうが、不等号≦で2つの式の関係を述べるのは自由です。「A≦Bと書くからにはA=Bの場合がなくてはいけない」というのは誤りですし、「=の場合を調べなければA≦Bを主張してはいけない」というのも誤りです。

確かにそうですが、現状では等号成立を調べないと減点されることはありますし、逆に等号成立を確かめて減点されたということは聞いたことがありません。受験参考書にはわざわざ不等式は等号成立条件も調べる、と書いてあるものもありますしね。

受験参考書に書いてあるからやるというのもおかしな話ですが、自分の理屈を貫き通すか点数を取るかのどちらを選ぶかという話になりますね。。

| Evergreen | 2008/05/29 00:36 | URL | ≫ EDIT

> 受験においては書きべきだと思いますよ。
> 現状では等号成立を調べないと減点されることはあります
> 受験参考書にはわざわざ不等式は等号成立条件も調べる、と書いてある

それらは、高校の先生や、塾や、受験参考書など、数学の教育をきちんと受けていない相手のご機嫌をとりたい場合だけです。
そもそも、高校の先生達はなぜ等号成立を確かめる必要があるのか知らない人が多いですし、知っている場合でも「どうせ殆どの高校生には最大値・最小値問題と不等式問題の区別がつかないだろうから」と、一緒くたにして教えているというだけです。(そもそも、東京大を受験しようという人はそのような参考書を選んでいてはいけません。)

実際、以下のように、大学の入試では完全に逆効果です。

> 逆に等号成立を確かめて減点されたということは聞いたことがありません

実際、減点すると宣言してらっしゃる方もいらっしゃいます。
例えば、http://nodame.jugem.cc/?eid=137 など。

大学の採点者は、等号成立の確認が不要なのにもかかわらずわざわざ確認している人を見たときに「丁寧にやってあるな」とは考えません。「なぜみんな不等式を証明するのに必要もない等号成立の確認をしているんだ」と不愉快に思うものです。減点までするかどうかは場合によりますが、そういうことを何カ所もやるとまとめて減点されるかもしれません。

大学の教官というのは、解ってないことを書いていると必ず見抜いてしまいます。そもそも「自分で正しいことを見分て実行するということができない人」は全く評価しないでしょう。
採点するのは、正しいことを実行するのが大好きで、融通の利かない数学者ですよ。受験の参考書の間違いなんて知りません。

| hoie | 2008/05/29 02:14 | URL |

>>hoieさん
そうですかー。今までずっと大学入試では等号成立条件を書かないと減点のような教わり方をしてきたので、やっぱ書かないとダメなのかなーと思ってました。

確かに大学の教授が書いているような参考書(黒大数など)では必要ないところでは等号成立条件を調べていませんでしたね(僕がもっているものでは

これからは自分で必要か必要でないかを考えて答案を書いていくことにしますかねー。

| Evergreen | 2008/05/29 02:58 | URL | ≫ EDIT

はじめまして。
「等号成立」で検索してたどり着いた、通りすがりの者です。
すでに結論が出ているので蛇足ではありますが、受験でどうすべきかについては
http://d.hatena.ne.jp/Cweed/20060508
にある「大学関係者」の説明も参考になると思います。
不要な等号成立条件を書いてある場合に減点の可能性があると明言されています。

| sk | 2008/07/30 12:34 | URL | ≫ EDIT















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